Antonine PHIGAREAU : Divisibilité des sommes d’exponentielles
Dans cette thèse, on s’intéresse à des sommes de caractères associées à des polynômes sur les corps finis. Ce sont des objets mathématiques issus de la théorie des nombres qui relient les domaines des mathématiques pures, tels que la géométrie des nombres, à des questions pratiques telles que la théorie de l’information, la théorie des codes et la cryptographie. Beaucoup de travaux sont déjà réalisés sur ces sommes et leurs fonctions L. Les fonctions L ont toujours été un outil puissant pour étudier les sommes de caractères en théorie des nombres. Pour estimer de telles sommes, les chercheurs s’intéressent le plus souvent aux zéros et aux pôles de la fonction L correspondante.
Par exemples, dans le cas où toutes les variables apparaissent dans le polynôme, Adolphson et Sperber ont obtenu une minoration pour la valuation p-adique de la somme exponentielle en fonction du poids du polynôme considéré. Et quand cette borne est utilisée dans le cas des nombres de points, il retombe sur un résultat de Katz. De leur côté, Oscar Moreno et ses coauteurs ont fourni une borne fine pour la p-divisibilité de la somme exponentielle associée à un polynôme à variables multiples. Dans ce document, on se donne deux grands axes de travail : le premier axe consiste à donner une minoration à la valuation d’une somme de caractères à partir de propriétés modulaires des exposants des termes d’un polynôme F en distinguant trois cas :
- Somme exponentielle ou somme de caractères c’est-à-dire que la somme est associée au polynôme F et à un caractère additif ;
- Somme de caractères mixtes où la somme de caractères est associée à deux caractères dont l’un est additif et l’autre est multiplicatif ;
- On adapte la somme de caractères mixtes à un polynôme de Laurent c’est-à-dire que le polynôme ordinaire F est remplacé par un polynôme de Laurent.
Et le second axe consiste à généraliser cette minoration en étudiant des propriétés p-adiques des fonctions L associées une suite de sommes de caractères mixtes. Pour ce faire, on développe la théorie de la p-densité d’un ensemble fini des exposants des termes du polynôme en question.
Le développement d’une telle théorie permet l’obtention d’une minoration de la valuation des zéros et des pôles de la fonction L associée à la suite de sommes de caractères mixtes.
Mots-clés : Sommes exponentielles, de caractères ou mixtes associées à un polynôme sur un corps fini, fonctions L, divisibilité et valuation p-adique de ces sommes ou suites de sommes.