Yvesner MARCELIN : Développements récents en analyse multivoque : prédérivées et optimisation multivoque
Résumé :
Étant donné deux espaces de Banach X et Y, on considère une application multivoque F de X vers Y. On entend par théorie de l'optimisation multivoque, celle qui étudie les problèmes du type :
minimiser F(x)
(1)
tel que x ∈ D,
où D désigne un sous-ensemble non vide du domaine de F. Ces dernières décennies, cette nouvelle branche de mathématiques attire l'attention de nombreux chercheurs. Parmi les multiples raisons expliquant cet intérêt grandissant figure la large étendue de son champ d'application. À ce jour, cette théorie est déclinée en trois approches principales dont la plus répandue est celle qui constitue une extension de l'optimisation vectorielle. En général, pour résoudre ce type de problèmes suivant cette approche, on munit l'espace objectif Y d'un ordre partiel induit par un cône convexe non vide C ⊂ Y dont dépendent les différents concepts de solutions. L'étude d'une telle théorie constitue une source majeure de motivation pour le développement de la différentiation généralisée dans le cadre multivoque qui connait elle aussi un essor considérable depuis le début des années 80.
Les travaux présentés dans cette thèse se situent à l'intersection de ces deux paradigmes, En effet, nous sommes intéressés, d'une part aux prédérivées d'applications multivoques (une notion de dérivée généralisée introduite en 2011 par C. H. J. Pang), d'autre part, à la théorie de l'optimisation multivoque, En tout premier lieu, nous établissons des résultats d'existence de prédérivées pour certaines classes d'applications avec une attention particulière accordée à celles qui possèdent certaines propriétés de convexité en considérant successivement le cas particulier d'un processus convexe, le cas général des applications convexes puis celui des applications cône-convexes, Ensuite, nous exploitons ces résultats dans le cadre de la théorie de l'optimisation multivoque en établissant des conditions nécessaires et des conditions suffisantes d'optimalité du premier ordre faisant intervenir les prédérivées. Puis, sous des hypothèses de convexité, nous établissons divers résultats naturels propres aux minimiseurs en optimisation convexe, Par la suite, nous appliquons quelques-uns de nos résultats théoriques à un modèle concret de l'économie du bien-être. En particulier, nous établissons un lien entre les allocations optimales faibles de Pareto du modèle économique et les minimiseurs faibles d'un problème d'optimisation associé. Un tel résultat nous permet de conclure que la recherche de ce type d'allocations peut conduire à la résolution d'un problème d'optimisation multivoque.
Par ailleurs, la notion de minimiseur faible figure parmi les concepts de solution couramment étudiés dans la littérature. Nous rappelons qu'un couple (x̄, ȳ) appartenant au graphe de l'application F avec x̄ ∈ D est appelé un minimiseur faible du problème (1) si (ȳ - int(C)) ∩ F(D) = Ø, où int(C) désigne l'intérieur de C par rapport à la topologie associée à la norme. On peut donc noter que la définition d'un tel concept exige la non vacuité de l'intérieur du cône d'ordre. Évidemment, cette hypothèse constitue une sérieuse limitation à l'utilisation de cette notion surtout lorsque l'espace objectif est de dimension infinie. En vue de pallier ce problème, nous considérons certaines notions d'intérieur généralisé existant dans la littérature, conduisant à des concepts de minimiseurs dits relaxés. Dans le but d'étudier leur stabilité, nous introduisons une topologie dans des espaces vectoriels ordonnés dont découle une notion de convergence bien adaptée à l'étude de la stabilité d'éléments minimaux de sous-ensembles de l'espace objectif. Celle-ci nous permet de définir deux concepts de convergence variationnelle que nous utilisons par la suite pour établir successivement la stabilité supérieure, un résultat garantissant la convergence de minimiseurs d'une famille de problèmes approchés vers une solution d'un problème limite éventuellement inconnu et la stabilité inférieure d'ensembles de minimiseurs relaxés, ce qui permet de caractériser le comportement asymptotique d'une famille de problèmes variationnels à partir d'un problème limite.