Michael GAYDU : Développements autour de la résolution d'inclusions variationnelles métriquement régulières
Résumé
Les travaux de cette thèse concernent l'étude et la résolution d'inclusions variationnelles métriquement régulières, c'est-à-dire des inclusions faisant intervenir des opérateurs multivoques possédant des propriétés de régularité métrique. Dans un premier temps nous présentons une méthode de régularisation dite de Tikhonov adaptée à la résolution de telles inclusions. Nous étudions successivement les cas où l'application multivoque en jeu est métriquement régulière, fortement métriquement régulière, fortement métriquement sous-régulière et lipschitzienne. Des théorèmes de convergence sont établis dans chaque cas ainsi qu'un théorème de terminaison finie et plusieurs résultats de stabilité de la méthode attestant de sa robustesse. Une application de ce type de résultats au transport d'électricité est également présentée dans cette thèse. Enfin, on étudie une méthode itérative de type Newton pour la résolution d'équations généralisées paramétrées. Des théorèmes importants relatifs à cette méthode - du type Lyusternik-Graves - sont démontrés ainsi qu'un résultat de convergence uniforme. L'ensemble des travaux de cette thèse s'inscrit dans une dynamique internationale très actuelle qui voit la réalisation de nombreuses avancées dans le domaine de l'analyse variationnelle et de l'optimisation numérique.
Mots clès :
Inclusion variationnelles, Régularité métrique, Régularisation de Tikhonov, Méthode de Newton, Théorème de Lyusternik-Graves.