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Multiplicité de solutions pour une classe d’EDP fortement non-linéaires

Dany NABAB
13/03/2025


Note : pour une meilleure mise en page, vous pouvez accéder au résumé en suivant le lien https://filesender.renater.fr/?s=download&token=5a51f8cd-d395-4c8f-a0d6-905466ead60c

L’étude des EDPs elliptiques du type [ ] est un domaine de recherche en forte hausse d’activité ces dernières années, en vertu de la capacité de ces problèmes à modéliser des phénomènes scientifiques complexes, particulièrement lorsque pi  : Ω → R+  et fi  : Ω × R  × R     → R sont des fonctions fortement non-linéaires, ce qui paradoxalement les rend très difficiles à aborder d’un point de vue mathématique.  A ce propos, il existe à ce jour peu de travaux dans la littérature qui abordent les questions de l’existence et de la multiplicité de solutions pour ce type de problèmes, compte tenu du fait que la plupart des méthodes analytiques basées sur des considérations algébriques ou variationnelles ne sont pas applicables si les hypothèses sur pi  et fi  sont trop générales.  à  ce stade,  seules les méthodes basées sur des considérations topologiques,telles  que  la  méthode  du  point  fixe  et  celle  du  degré  topologique,  sont  les  mieux  adaptées  pour relever ce défi.
L’objet de ce séminaire est de présenter une nouvelle application de l’indice de point fixe d’Amann, qui est une extension du degré topologique de Leray-Schauder, afin de démontrer que si un problème de point fixe de la forme [] où  E  est  un  espace  de  Banach,  admet  au  moins  un  nombre  impair  N  de  solutions  non-triviales, alors  sous  certaines conditions  sur  la  fonctionnelle  F,  il  admet  nécessairement  au  moins  une  solu- tion  supplémentaire  qui  elle  aussi  est  non-triviale.  Ce  résultat  sera  par  la  suite  utilisé  pour  prou- ver  l’existence  d’au  moins  deux  solutions  non-triviales  pour  l’équation  d’Hammerstein  associée  au problème initial, l’existence de la première solution non-triviale étant déj`a garantie suite aux résultats obtenus dans [1].

 

 

[1]    A. Moussaoui, D. Nabab, J. Vélin, Singular quasilinear convective systems involving variable exponents, Opuscula Mathematica  44 (2024),  pp. 105-134.
[2]    H. Amann,Lectures on some fixed point theorem, Conselho nacional de pesquisas, Instituto de Matematica Pura e  Aplicada, 1975.
[3]    H. Amann, Fixed point equations and nonlinear eigenvalue problems in ordered Banach spaces, SIAM review, 18(4),  620-709,  1976.