Résultats de stabilité pour des problèmes d’optimisation à valeurs fixées dans des espaces fonctionnels d’ordre fixé
Ces dix dernières années ont vu émerger de nouveaux défis en gestion des risques financiers, en modélisation et en traitement des incertitudes fortes. Les problématiques modernes afférentes conduisent généralement à l’étude de problèmes d’optimisation faisant intervenir une fonction objectif à valeurs dans un hyperespace préordonné – par un cône convexe. On parle alors de problèmes d’optimisation multivoque, les fonctions objectifs ayant ordinairement pour codomaine l’ensemble des sous-parties non vides d’un espace vectoriel normé. Bien que cette classe de problèmes soit étudiée depuis la fin des années 1990, les travaux de Hamel (2005), introduisant le concept d’espace conlinéaire (ou Conlinear space), ont été les premiers à s’intéresser à la structure du codomaine des fonctions objectifs. Plus récemment, Geoffroy et Larrouy (2022) ont fourni un cadre topologique pour les espaces conlinéaires, dédié au traitement des problèmes d’optimisation multivoque : la topologie de l’ordre sur les ensembles (ou set order topology). Désormais, nous appellerons « espace fonctionnel de l’ordre sur les ensembles » (set order functional space*) tout espace d’applications multivoques ayant pour codomaine un espace conlinéaire muni de la topologie de l’ordre sur les ensembles.
En 2016, Gutiérrez et al. ont introduit les concepts de stabilités intérieure et extérieure pour étudier les problèmes d’optimisation multivoque via l’approche de Kuroiwa (ou approche ensembliste). Dans cet exposé, nous étudierons la stabilité intérieure et extérieure des problèmes d’optimisation multivoque dont la fonction objectif appartient à un espace fonctionnel de l’ordre sur les ensembles. Nous considérerons des perturbations sur la fonction objectif et sur le domaine admissible, et traiterons les cas des solutions minimales relaxées (au sens de Geoffroy et Larrouy), de Pareto et fortes. Pour ce faire, nous introduisons une nouvelle convergence variationnelle : la Gamma-cone convergence, dont nous présenterons brièvement les belles propriétés. À notre connaissance, la stabilité extérieure des solutions minimales de Pareto sans conditions de convexité sur la fonction objectif n’avait pas encore été obtenue.