Étude d’un système elliptique de type Réaction-Diffusion-Convection avec exposants variables.
Dans de nombreux domaines comme la chimie, la biologie, l’informatique ou encore la dynamique de populations, on rencontre des phénomènes qui peuvent être interprétés comme la diffusion d’une (ou plusieurs) entité(s) dans un domaine spatial prédéfini, celles-ci pouvant éventuellement interagir entre elles de façon coopérative ou compétitive. Ces déplacements, couplés avec des différences de propriétés au sein du domaine spatial (force, température, pression, etc.), peuvent parfois engendrer des cycles de transfert de matière qui vont à leur tour influencer le processus : on parle de convection. De tels phénomènes entrent dans la catégorie des processus de type Réaction-Diffusion-Convection (RDC), et peuvent être modélisés par un système de n équations aux dérivées partielles à n inconnues, notées u_i (i = 1, .., n). Chacune de ces EDPs fait intervenir un opérateur de diffusion de type pseudo-Laplacien, noté −Δp(x,t)u_i, qui dépend de la position spatio-temporelle, et un terme source nonlinéaire de type f(x, t, u_1, .., u_n,∇u_1, ...,∇u_n), décrivant les relations entre les solutions et leurs gradients en chaque point de l’espace-temps. Dans ce séminaire, nous présenterons un certain nombre de résultats affirmant que, dans le cas où n = 2, en se plaçant sous certaines hypothèses géométriques et en conditionnant les différentes données du problème, certaines classes d’EDPs elliptiques de type RDC admettent une solution assurant l’équilibre du système. Ces résultats sont basés sur deux approches, l’une étant le recours au degré topologique, l’autre l’utilisation de la méthode des sur-et-sous-solutions combinée avec le théorème de point fixe de Schauder.