Jasmine CESARS : Inférence statistique et équations différentielles stochastiques Applications en hydrologie
Les équations différentielles stochastiques (EDS) sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes aléatoires en temps continu. C’est le cas des EDS ayant pour solution des processus dits de diffusion qui servent à décrire des propagations de maladie ou des cours financiers. L’étude des EDS gouvernées par le processus de Wiener (ou mouvement brownien) a bien avancée ces dernières années mais celle concernant des EDS gouvernées par des processus de Lévy à sauts, en raison de leur complexité, est moins développée. Dans cette thèse, nous nous intéressons à des EDS à sauts, à solution explicite tel que le modèle de Black-Scholes gouverné par un processus de Poisson associé à des sauts stochastiques. Le processus de Langevin `a sauts aléatoires est également étudié. Les propriétés distributionnelles de ces modèles sont présentées, en particulier le fait que les solutions directes ou transformées des EDS associées peuvent être des processus à accroissements indépendants. Le lien avec les caractéristiques probabilistes des amplitudes de saut est mis en avant. Dans la pratique, l’observation d’un processus solution de ces EDS ne peut se faire qu’en temps discret alors qu’il s’agit d’un processus en temps continu. Les résultats, que nous avons obtenus concernant les lois de probabilités associées `a des observations en temps discret, permettent d’établir des vraisemblances conditionnelles ou non conditionnelles utiles pour l’inférence statistique sur les paramètres du modèle considéré. Ainsi l’étude du logarithme du rapport de vraisemblance est menée dans le cas du modèle de Black-Scholes à sauts et à régimes. Un test de rupture relatif au taux de décroissance est proposé ainsi que des méthodes de simulations numériques des solutions des EDS considérées. Des scripts écrits dans l’environnement de programmation R permettent de générer des jeux de données artificielles offrant des possibilités de tester des outils inférentiels développés. Une application en hydrologie est effectuée à partir de données concernant la Guadeloupe et provenant de la banque de données HYDRO.
Mots-clés: Equation différentielle stochastique, processus de Wiener, processus de Poisson, processus d’Itô, processus de Lévy, processus de Lévy fractionnaire; intégrale stochastique; Equation Différentielle Stochastique (EDS) dirigée par un Mouvement Brownien (MB), EDS dirigée par un Mouvement Brownien Fractionnaire (MBF); technique de vraisemblance, inférence statistique.