Edès DESTYL : Modélisation et analyse de systèmes d’équations de Schrödinger non linéaires
Résumé :
Les travaux de cette thèse portent sur les études mathématiques et numériques de systèmes couplés de deux équations de Schrödinger non linéaires. Dans un premier temps, nous considérons un système de deux équations de Schrödinger non linéaires PT−symétrique qui modélise la propagation d’ondes faiblement dispersives, spécifiquement dans le cas où l’on considère simultanément une paire d’ondes. Le comportement de la solution est étudié dans certains espaces comme l’espace de Sobolev H1. L’étude numérique du modèle est faite afin de confirmer les résultats analytiques et, montre clairement le comportement qualitatif de la solution dans les espaces choisis. Pour ce même modèle en dimension supérieure, des conditions suffisantes sont établies pour que la solution explose en temps fini pour certaines non linéarités et pour le cas général de la non linéarité focalisante, nous faisons l’étude numérique du modèle et nous présentons certains cas d’explosion de la solution en temps fini et aussi des solutions du modèle qui existent tout le temps. D’autre part, nous considérons un nouveau modèle d’équations discrètes de Schrödinger non linéaires PT -symétrique. Un tel modèle décrit la dynamique d’une chaîne de pendules faiblement couplés près d’une résonance entre une force paramétrique et la fréquence linéaire des pendules. En vue d’étudier la stabilité des pendules, des conditions suffisantes ont été fournies sur les paramètres du modèle pour que la solution d’équilibre soit linéairement et non linéairement stable. Des expériences numériques sont présentées pour confirmer les résultats analytiques et pour caractériser la déstabilisation de la chaîne de pendules couplés dans la région d’instabilité.